Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона.
Шаровые функции

В начало словаря

По первой букве
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z

Шаровые функции

— представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Шаровые функции

Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО= r , угол МСО=ω.

Из треугольника M СО следует, что

Шаровые функции

Это выражение можно представить:

Шаровые функции (в случае I) или

Шаровые функции (в случае II).

Полагая cosω = x, R /ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

Шаровые функции, где α < 1.

Во многих вопросах математической физики приходится 1/ r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции Шаровые функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим:

Шаровые функции

где P0 = 1, P1 = x, P2 = 3/2x2-1/2, P3 = 5/2x3-3/2x,... Pn = Шаровые функции

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р n(x) есть n -ая производная целой функции:

(x2-1)n/1∙2∙3∙...n∙2n.

Уравнение Р n(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между - 1 и +1.

Функция Р n(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(1-x2)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.

Между тремя последовательными функциями Pn, Pn-1 и Pn-2 имеет место соотношение:

nPn — (2n-1)xPn-1 + (n-1)Pn-2 = 0.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).

Д. С.