АЛГЕБРА БУЛЯ

— исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AÈ.B; умножение классов АÇВ; дополнение класса А'. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами: la. AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC — ассоциативность сложения;
16. AÇ(BÇC)= (AÇВ) ÈC — ассоциативность умножения;
2a.AÈB= BÈA — коммуникативность сложения;
2б.АÇВ =ВÇА — коммуникативность умножения;
3a.AÈ(ВÇС)= =(AÈB) Ç(AÈC) — дистрибутивность сложения относительно умножения;
36.AÇ(BÈC)==(AÇB) È(AÇC) — дистрибутивность умножения относительно сложения.
В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми
подчиняются следующим соотношениям:

AÈ0=A;

AÇ1=A;

AÈA'=1;

AÇA'=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А

равна А: АÈА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: АÇА=А, а не A².

Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения È на Ç и Ç на È, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу «да - нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.

Вернуться к оглавлению