Наши партнеры
— отображение результатов мышления в точных понятиях и утверждениях. При Ф. изучаемым объектам, их свойствам и отношениям ставятся в соответствие некоторые устойчивые, хорошо обозримые и отождествимые материальные конструкции, дающие возможность выявить и зафиксировать существенные стороны объектов. Ф. уточняет содержание путем выявления его формы и может осуществляться с разной степенью полноты.
Выражение мышления в естественном языке можно считать первым шагом Ф. Дальнейшее ее углубление достигается введением в обычный язык разного рода специальных знаков и созданием частичноискусственных и искусственных языков.
Логическая Ф. направлена на выявление и фиксацию логической формы выводов и доказательств. Полная Ф. теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла ее исходных понятий и положений и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая Ф. включает в себя три момента: 1) обозначение всех исходных, неопределяемых терминов; 2) перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); 3) введение правил преобразования данных формул для получения из них новых формул (теорем).
В формализованной теории доказательство не требует обращения к содержанию используемых понятий, их смыслу. Доказательство является здесь последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства (но не его отыскание) превращается в чисто механическую процедуру, которая может быть передана вычислительной машине.
Ф. играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым понятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмически неразрешимые проблемы.
Только с Ф. арифметики появилась возможность поставить вопрос, охватывает ли формализованная арифметика всю содержательную арифметику. Как показал К. Гёдель, достаточно богатая содержанием теория (охватывающая арифметику натуральных чисел) не может быть полностью отображена в ее формализованной версии; как бы ни пополнялась дополнительными утверждениями последняя, в теории всегда останется невыявленный, неформализованный остаток (см.: Гёделя теорема).